\documentclass[a4paper,12pt,authordate1-4]{article}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}

\begin{document}
\begin{center}

\vspace{1cm}
{\huge Henrique Silva Dallazuanna}\\
\vspace{7cm}
{\LARGE An\'alise estat\'istica da dispers\~ao espa\c{c}o temporal da Dengue na cidade de Recife - PE} \\

\vspace{8cm}
{\large Curitiba \\ 2007}

\end{center}
\thispagestyle{empty}
\newpage

\begin{center}
\vspace{1cm}
{\huge Henrique Silva Dallazuanna}\\
\vspace{4cm}
{\LARGE An\'alise estat\'istica da dispers\~ao espa\c{c}o-temporal da Dengue na cidade de Recife - PE} \\
\vspace{4cm}
\hfill{\parbox{10cm} {\large Relat\'orio de an\'alise estat\'istica, apresentado \`a disciplina de Laborat\'orio I, do curso de Bacharelado em  Estat\'istica, do Setor de Ci\^encias Exatas da Universidade Federal do Paran\'a.\\ 

Orientador: Prof. Ricardo Sander Ehlers }}\\
\vspace{2cm}
{\large Curitiba \\ 2007}

\end{center}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\tableofcontents
\pagenumbering{roman}
\newpage
\begin{center}
{\LARGE An\'alise estat\'istica da disper\c{c}\~ao espa\c{c}o-temporal da Dengue na cidade de Recife - PE} \\
\end{center}

\vspace{2cm}
\begin{abstract}
\noindent Diante dos recentes avan\c{c}os de epidemias nas grandes cidades brasileiras, dentre as quais destacamos a Dengue, devido \`a prolifera\c{c}\~{a}o de mosquitos da esp\'ecie \textit{Aedes aegypti}, tornou-se necess\'ario um entendimento e consequentemente um controle maior da evolu\c{c}\~{a}o e do comportamento desta esp\'ecie. Neste sentido o projeto SAUDAVEL\footnote{Sistema de Apoio Unificado para Detec\c{c}\~ao e acompanhamento em Vigil\^ancia Epidemiol\'ogica} est\'a desenvolvendo um experimento na cidade de Recife/PE, que consiste na coleta de ovos deste mosquito, a fim de construir um ambiente para o monitoramento e vigil\^ancia, buscando contribuir para um maior controle de surtos epid\^emicos. Este trabalho prop\~oe ferramentas estat\'isticas para estima\c{c}\~{a}o de superf\'icies onde o fen\^omeno em estudo n\~ao foi observado.\\
\textbf{Palavras-chave}: Modelos Aditivos Generalizados, An\'alise Explorat\'oria de Dados, R.
\end{abstract}

\newpage


\newpage
\section{Introdu\c{c}\~{a}o}
\pagenumbering{arabic}
\par \hspace*{0.5cm} 
O crescimento constante na ocorr\^encia de Dengue tem causado v\'arios problemas para a popula\c{c}\~ao e para os governos, n\~ao apenas no Brasil, mas em todo mundo, principalmente nos pa\'ises de clima tropical. A dengue \'e transmitida pela f\^emea do mosquito \textit{Aedes aegypti}, pois o macho se alimenta apenas da seiva das plantas. Um desses mosquitos durante toda sua vida (em torno de 45 dias), pode contaminar at\'e 300 pessoas. Diante disto houve a necessidade de se criar medidas para controle do avan\c{c}o da doen\c{c}a.
 
\par Uma dessas medidas foi o controle da prolifera\c{c}\~{a}o do mosquito na cidade de Recife, estudo esse que teve a iniciativa do projeto SAUDAVEL\footnote{http://saudavel.dpi.inpe.br/}, o qual \'e uma subivis\~{a}o do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), que busca, atrav\'es de parcerias com Institui\c{c}\~oes de ensino nacionais e governos, implementar m\'etodos automatizados para controle de epidemias.
 
\par No estado do Paran\'a, a Universidade Federal do Paran\'a \'e representada neste projeto atrav\'es do Laborat\'orio de Estat\'istica e Geoinforma\c{c}\~ao\footnote{http://leg.est.ufpr.br}

\section{Objetivos}

\par \hspace*{0.5cm} O objetivo do trabalho \'e analisar os dados relativos ao n\'umero de ovos do mosquito \textit{Aedes aegypti} coletados em armadilhas instaladas em cinco bairros da cidade de Recife. A an\'alise estat\'istica desenvolvida ser\'a utilizada para estimar a superf\'icie n\~{a}o observada nos bairros em que haviam armadilhas, de forma que sirva de base para prever poss\'iveis descontroles no n\'umero de ovos, e assim desenvolver planos de a\c{c}\~ao para controlar tais avan\c{c}os.

\par Deseja-se que tal an\'alise possa ser feita de forma automatizada, devido ao grande n\'umero de informa\c{c}\~oes dispon\'iveis e a necessidade da obten\c{c}\~{a}o da informa\c{c}\~ao, para que possa ser poss\'ivel o controle da epidemia mencionada. Para tal usamos o software \texttt{R} \cite{r}.


\section{Procedimentos Metodol\'ogicos}
Nesta se\c{c}\~ao ser\'a feito uma descri\c{c}\~ao do estudo, dos dados e da metodologia utilizada na an\'alise.

\subsection{\'Area de estudo, Instrumentos e T\'ecnicas de Campo \label{area}}
\par \hspace*{0.5cm} 
O estudo teve in\'icio no ano de 2004 com a instala\c{c}\~ao de 564 armadilhas dispostas uniformemente em 5 bairros da cidade de Recife:

\begin{enumerate}
  \item Bras\'ilia Teimosa
  \item Dois Irm\~aos
  \item Morro da Concei\c{c}\~ao
  \item Casa Forte/Parnamirim
  \item Engenho do Meio
\end{enumerate}

com o objetivo de que a f\^emea do mosquito \textit{Aedes aegypti} fizesse o dep\'osito dos ovos. As armadilhas foram ent\~ao dividas em quatro grupos.

\par A cada uma semana (7 dias), um grupo de armadilhas (25\%) em cada bairro \'e coletado para que a contagem do n\'umero de ovos seja realizada em laborat\'orio e a informa\c{c}\~ao seja encaminhada para an\'alise. Vale destacar, que a cada observa\c{c}\~ao, a armadilha come\c{c}a novamente do 0. A \'ultima atualiza\c{c}\~ao no banco de dados ocorreu em 15/05/2007.

\par Os dados s\~ao repassados para um Sistema Gerenciador de Banco de Dados\footnote{SGBD} atrav\'es de uma ferramenta de Sistema de Informa\c{c}\~ao Geogr\'afica\footnote{SIG} (No nosso caso estamos utilizando o TerraLib). Estes dados podendo ser acessadas remotamente desde que o usu\'ario tenha permiss\~{a}o.
 
\par Utilizando o pacote estat\'istico \texttt{R} como ferramenta, dispomos de v\'arias formas para leitura do banco de dados, dentre as quais podemos destacar a utiliza\c{c}\~ao dos pacotes:

\begin{itemize}
  \item \texttt{RODBC}~\cite{odbc}
  \item \texttt{RMySQL}~\cite{mysql}
  \item e o que usamos neste trabalho \texttt{aRT}~\cite{art}
\end{itemize}

\par A figura 1 abaixo ilustra a distribui\c{c}\~ao das armadilhas pertencentes ao grupo 1 no bairro Bras\'ilia Teimosa na sua segunda observa\c{c}\~ao (25-05-2004), que ser\'a o bairro e a data em estudo neste relat\'orio. Nesta figura os n\'umeros representam os c\'odigos das armadilhas e os c\'irculos tem di\^ametro proporcional ao n\'umero de ovos.
\par Pode-se notar que as armadilhas pertencentes \`a esse grupo se concetram na parte central do bairro, com exce\c{c}\~ao da armadilha 102.
\clearpage

\begin{center}
  \begin{figure}[htb]
    \centering
    \includegraphics[height=9cm]{bubble_bt_gam_5.eps}
    \caption{Distribui\c{c}\~ao espacial das armadilhas. Quanto maior o tamanho do c\'irculo, maior a contagem de ovos realizada naquela armadilha. O n\'umero abaixo de cada armadilha representa o c\'odigo da armadilha.}
  \end{figure}
\end{center}

\section{Metodologia Estat\'istica}
Para nosso objetivo, que \'e a estima\c{c}\~ao na superf\'icie n\~ao observada, faremos uso dos Modelos Aditivos Generalizados, devido \`a sua estrutura oferecer uma flexibilidade na especifica\c{c}\~ao da rela\c{c}\~ao entre a vari\'avel resposta e as covari\'aveis.

\subsection{Modelo Aditivo Generalizado}
Um modelo aditivo generalizado\cite{hastie86generalized} \'e um modelo linear generalizado, com um ou mais preditores lineares envolvendo uma soma de fun\c{c}\~oes suaves das covari\'aveis. O modelo tem a seguinte estrutura:

$$
g(\mu_i) = X^\ast_i\theta + f_i(x_1i) + f_2(x_2i) + f_3(x_3i, x_4i) + ..., 
$$

onde
$\mu_i \equiv E(Y_i)$ e $Y_i \sim$ alguma distribui\c{c}\~ao da fam\'ilia exponencial.

$Y_i$ \'e a vari\'avel resposta, $X^\ast_i$ \'e uma linha da matriz do modelo, para a parte estritamente param\'etrica, $\theta$ \'e o vetor de par\^ametros correspondentes, e as $f_j$ s\~ao as fun\c{c}\~oes suaves das covari\'aveis $x_k$
$g$ \'e uma fun\c{c}\~ao de liga\c{c}\~ao conhecida.
 
\subsubsection{Representa\c{c}\~ao da Fun\c{c}\~ao Suave}
A representa\c{c}\~ao da fun\c{c}\~ao suave do modelo pode ser feita usando m\'etodos comuns de estima\c{c}\~ao, tais como m\'inimos quadrados e m\'axima verossimilhan\c{c}a. Para tal \'e necess\'ario que se escolha uma base, ou seja, definir o espa\c{c}o de fun\c{c}\~oes do qual $f$ \'e um elemento. Para ilustrar, considere que $f$ seja um fun\c{c}\~ao polinomial de quarta ordem.Uma base para este espa\c{c}o \'e $b_1(x)=1, b_2(x)=x, b_3(x)=x^2, b_4(x) = x^3$ e $b_5(x)=x^4$. A figura 2 ilustra a representa\c{c}\~ao de uma fun\c{c}\~ao de base usando uma base polinomial. Os 5 primeiros pa\'ineis ilustram as 5 fun\c{c}\~oes de base $b_j(x)$ para uma base polinomial de ordem 4. As fun\c{c}\~oes s\~ao ent\~ao multiplicadas por uma valor real, $\beta_j$, e somadas para resultar na curva final $f(x)$

%\clearpage

Bases polinomiais tendem a ser muito \'uteis em situa\c{c}\~oes onde o foco de an\'alise s\~ao as propriedades de $f$ na vizinhan\c{c}a de um \'unico ponto, por\'em quando o interesse \'e em toda a extens\~ao do dom\'inio da fun\c{c}\~ao as bases polinomiais apresentam alguns problemas.Uma base \textit{spline} tem melhor perfomance perante uma vasta quantidade de situa\c{c}\~oes e pode ser mostrado que elas apresentam boas propriedade te\'oricas\cite{wood2006}.

\begin{center}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm, height=7cm]{cm_test.eps}
\caption{Representa\c{c}\~ao de uma Base polinomial de quarta ordem}
\end{figure}
\end{center}


\subsubsection{Escolhendo o par\^ametro de suaviza\c{c}\~ao}
\par Uma necessidade para o ajuste do modelo \'e escolher o melhor par\^ametro de suaviza\c{c}\~ao $\lambda$,  para os dados. Se o $\lambda$ for muito pequeno o modelo alisar\'a muito os dados, caso seja muito grande, o modelo n\~ao alisar\'a os dados de forma suficiente, em ambos os casos significa que a \textit{spline} estimada $\hat{f}$ n\~ao \'e uma boa aproxima\c{c}\~ao para a fun\c{c}\~ao real $f$.A melhor escolha para $\lambda$ \'e aquela que mais aproxima $\hat{f}$ da real fun\c{c}\~ao  $f$.Um crit\'erio adequado para escolher $\lambda$ seria escolher o valor de $\lambda$ que minimiza a seguinte express\~ao:

$$
M = \frac{1}{n}\sum^n_{i=1}(\hat{f_i} - f_i)^2
$$

\noindent onde a nota\c{c}\~ao $\hat{f_i} \equiv \hat{f}^(x_i)$ e $f_1 \equiv f(x_i)$ foi adotada por conveni\^encia.

\par Note que $f$ \'e desconhecida , ent\~ao $M$ n\~ao pode ser usada diretamente, mas \'e poss\'ivel derivar uma estimativa da $E(M) + \sigma^2$ que \'e o erro quadr\'atico m\'edio esperado ao prever uma nova vari\'avel.Define-se $\hat{f}^{[-i]}$ como o modelo ajustado com todos os dados exceto $y_i$, e define-se o escore ordin\'ario da valida\c{c}\~ao cruzada como:

\begin{equation}
v_0 = \frac{1}{n} \sum^n_{i=1}(f_i^{[-i]} - y_i)^2
\end{equation}

\par Este processo de escolha de $\lambda$ que minimiza $v_0$ \'e conhecida como Valida\c{c}\~ao Cruzada Ordin\'aria.Este m\'etodo \'e uma aproxima\c{c}\~ao razo\'avel , j\'a que ele minimiza o erro quadr\'atico de predi\c{c}\~ao , se os modelos forem julgados apenas por sua capacidade preditiva, modelos mais complexos sempre ser\~ao escolhidos ao inv\'es de modelos mais simples. Computacionalmente o processo de calcular $v_0$ para todos os dados e ajustar o modelo para cada um dos $n$ componentes do conjunto de dados, entretanto pode-se decompor (1), chegando assim ao escore da Valida\c{c}\~ao Cruzada Generalizada.

$$
v_g = \frac{n\sum\limits_{i=1}^n(y_i - \hat{f_i})^2}{[tr(I - A)]^2}
$$

O escore de valida\c{c}\~ao cruzada ordin\'aria(GCV) tem vantagens computacionais sobre o escore de valida\c{c}\~ao cruzada ordin\'aria(OCV), e \'e um dos crit\'erios para escolha do melhor modelo, bem como o Crit\'erio de Informa\c{c}\~ao de Akaike (AIC) e o coeficiente de correla\c{c}\~ao m\'ultipla $R^2$ ajustado.

\section{Resultados}

\par Como a coleta \'e feita semanalmente, precisamos fazer a estima\c{c}\~ao da superf\'icie para todas as datas coletadas, o que gera em torno de 160 datas para cada um dos 5 bairros observados. Sendo assim, este relat\'orio ir\'a conter apenas um modelo ilustrativo para o bairro Bras\'ilia Teimosa e para a data 25-05-2004. O restante da modelagem \'e feita de maneira automatizada pelo pacote estat\'istico \texttt{R}. Houve a necessidade de se criar fun\c{c}\~oes pr\'oprias para este fim.

\par Para visualiza\c{c}\~ao da superf\'icie gerada para cada uma das semanas do experimento, foi gerado um v\'ideo mostrando a evolu\c{c}\~ao espa\c{c}o-temporal do fen\^omeno em toda a \'area observada, seguindo o procedimento descrito na p\'agina \texttt{http://leg.est.ufpr.br/doku.php/projetos:saudavel}. Todos arquivos gerados est\~ao dispon\'iveis na p\'agina \\ \texttt{http://www.leg.ufpr.br/doku.php/pessoais:henriqued:lab}

\par Foram ajustados 3 modelos para cada um dos bairros:

\begin{enumerate}
 	\item $log(E(Z_i)) = f_1(x_i) + f_2(y_i)$
	\item $log(E(Z_i)) = f_1(x_i) + f_2(y_i) + log(Z_i(t-1))$
	\item $log(E(Z_i)) = f_1(x_i) + f_2(y_i) + f_3(log(Z_i(t-1)))$
\end{enumerate}

Onde $Z_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ \'e o n\'umero de ovos observados na data descrita acima, $x_i, y_i$ s\~ao as coordenadas das armadilhas observadas, $f_i$ s\~ao fun\c{c}\~oes suaves das covari\'aveis e $Z_i(t-1)$ \'e a vari\'avel resposta defasada em um per\'iodo (27-04-2004). 

Conforme descrito na se\c{c}\~ao \ref{area} o \texttt{R} disp\~oe de alguns pacotes para realizar a modelagem por Modelos Aditivos Generalizados. Neste trabalho foi usado o pacote \texttt{mgcv}\cite{mgcv}.

O resultado do modelo \'e descrito na Tabela 1 abaixo

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
  \hline
  Modelo & GCV & AIC & Deviance & $R^2_{adj}$ \\
  \hline
  1 & 0.33189 & 31.1485 & 85.8\% & 0.760 \\
  2 & 0.35745 & 30.93682 & 87.3\% & 0.764 \\ 
  3 & 0.17912 & 11.48958 & 96.2\% & 0.909 \\
  \hline \\
  \end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\caption{Tabela 1: Valida\c{c}\~ao Cruzada Ordin\'aria Generalizada, Crit\'erio de Informa\c{c}\~ao de Akaike, Deviance Explicada e Coeficiente de Correla\c{c}\~ao $R^2$ ajustado, que leva em considera\c{c}\~ao a parcimonia do modelo}
\end{center}

\par Conforme descrito na metodologia acima, o modelo escolhido ser\'a aquele que tenha o menor GCV, a maior \textit{Deviance}, o maior $R^2_{adj}$ e o menor AIC. Neste caso, o modelo 3.

\par Precisamos verificar o pressuposto de homocedasticidade do modelo, j\'a que normalidade n\~ao \'e assumido, apenas se requerido, conforme descrito por Wood (2006).

O gr\'afico da figura 3 nos fornece indica\c{c}\~ao de que a vari\^ancia \'e aproximadamente constante.

\clearpage
\begin{center}
\begin{figure}[htb]
	\centering
	\includegraphics[heigth=8cm, width=8cm]{resid_fitted.eps}
	\caption{Valores Ajustdos \textit{versus} Res\'iduos}
\end{figure}
\end{center}

\par Por fim, podemos fazer a interpola\c{c}\~ao para a \'area n\~ao observada. A maneira utilizada para interpolar a superf\'icie foi, gerar uma nuvem de pontos sobre a extens\~ao do bairro, que pode ser feito usando a fun\c{c}\~ao \texttt{expand.grid} do \texttt{R}. Ap\'os isso precisamos apenas predizer os dados gerados, usando o modelo ajustado, o que resultou no gr\'afico da figura 4.

\clearpage

\begin{center}
  \begin{figure}[htb]
    \label{surf}
    \centering
    \includegraphics[width=8cm, height=8cm]{surf_bt_gam_5.eps}
    \caption{Superf\'icie interpolada para o bairro Bras\'ilia Teimosa para o dia de 25 de maio de 2004. Como descrito anteriormente, os dados est\~ao em escala logar\'itimica}
  \end{figure}
\end{center}

\section{Conclus\~ao}
\par Por se tratar de uma metodologia de an\'alise recente, a an\'alise e visualiza\c{c}\~ao de dados espa\c{c}o-temporais ainda n\~ao nos permite avaliar compara\c{c}\~oes com outros m\'etodos, como ocorre em outras \'areas da estat\'istica, por\'em como podemos perceber pela aplica\c{c}\~ao acima, o Modelo Aditivo Generalizado foi satisfat\'orio, tendo em vista que atrav\'es da figura 3 \'e poss\'ivel entender a prolifera\c{c}\~ao do mosquito em todo o bairro.

\par Devemos levar em considera\c{c}\~ao o baixo n\'umero de observa\c{c}\~oes para todas as semanas observadas, em torno de 20 a 25 armadilhas observadas, o que dificulta o ajuste de um modelo de tal complexidade como o GAM, j\'a que este estima uma quantidade consider\'avel de par\^ametros.

\par Fica como sugest\~ao para trabalhos futuros do projeto SAUDAVEL, o ajuste de um modelo que leve em considera\c{c}\~ao a estrutura de covarian\^cia espa\c{c}o-temporal presente nos dados. 

\newpage
\section{Refer\^encias}

\bibliography{LABITextofinal1}
\bibliographystyle{authordate2}

\end{document}